Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ( R) và ( e ^ 2x -1 ) là một nguyên hàm của hàm số

91/235

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $(\mathbb{R})v{\rm{\`a }}({e^{2x + 1}})$là một nguyên hàm của hàm số ${e^x}f'(x)$trên $(\mathbb{R}),v{\rm{\`a }}(f(0) = 1).$

Khi đó f(1) bằng:

$\frac{{{e^3} - e + 2}}{2}$

$e^{2} - e + 1$

$2 e^{2} - 2 e + 1$

$(2 e - 1)$

Giải thích

Phương pháp giả

Công thức nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Vì ${e^{2x + 1}}$là nguyên hàm của ${e^x}f'(x)$nên:

\[{e^x}f'(x) = {({e^{2x + 1}})^\prime } = 2{e^{2x + 1}} \Rightarrow f'(x) = 2{e^{x + 1}}.\]

Ta có:

\[\int_0^1 {f'} (x){\mkern 1mu} dx = f(1) - f(0).\]

Suy ra:

\[f(1) = f(0) + \int_0^1 2 {e^{x + 1}}{\mkern 1mu} dx = 1 + 2{e^{x + 1}}|_0^1 = 2{e^2} - 2e + 1.\]

Mở rộng:

· Công thức tổng quát: Nếu $f'\left( x \right)$ là nguyên hàm của $g\left( x \right)$ thì $f\left( x \right) = \smallint g\left( x \right)dx$.

· Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, thay giá trị vào để tính $f\left( 1 \right)$.