Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0)= 0, f(4) lớn hơn 4
49/50
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f0=0, f4>4. Biết hàm số y=f'x có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số gx=fx2−2x là?
2
1
4
3
Đáp án D
Nhắc lại: Số cực trị hàm số y=fx được tính bằng tổng số cực trị hàm số f(x) và giao điểm của hàm số f(x) với trục hoành.
Ta có hx=fx2−2x⇔h'x=2xf'x2−2=2xf'x2−1
Xét hx=0⇔xf'x2−1=0 (1)
Nếu x≤0 thì phương trình (1) vô nghiệm
Nếu x>0 đặt x2=t thì (1) trở thành f't=1t (2)
Vẽ đồ thị hai hàm số y=f't, y=1t trên cùng một hệ trục tọa độ.
Quan sát hai đồ thị ta thấy
- Nếu 0<t≤1 thì hàm số f '(t) đồng biến, còn hàm số y=1t nghịch biến nên (2) có nghiệm duy nhất t=t0∈0;1.
- Nếu t>1 thì f't>1>1t nên (2) vô nghiệm.
Từ các nhận xét trên ta có bảng biến thiên
Ta có h0=0h2>0. Nên hàm số h(x) có một điểm cực tiểu và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Từ đó ta có gx=hx có 3 cực trị.