Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau. Khẳng định nào sau đây về số cực trị của hàm số g(x) = f(x^2 + 1) + x^2 - x^3 + x^4 là đúng?

Giải chi tiết:

Ta có \(g'(x) = 2x \cdot f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x - 3{x^2} + 4{x^3}\)

\( = 2x\left[ {f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1} \right].\)

Ta có \({x^2} + 1 \ge 1,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(f'(x) \ge 0\forall x \in (1; + \infty )\) nên \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}.\)

Mặt khác, ta có \(2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1 = 2{\left( {x - \frac{3}{8}} \right)^2} + \frac{{23}}{{32}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Vậy \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}.\)

Suy ra \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\)

Vậy hàm số \(g(x)\) có đúng một điểm cực tiểu là \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Đáp án cần chọn là: C