Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu đạo hàm như sau
11/234
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và bảng xét dấu đạo hàm như sau
Khẳng định nào sau đây về số cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right) + {x^2} - {x^3} + {x^4}\) là đúng?
Có hai cực đại và chỉ có một cực tiểu.
Có hai cực tiểu và chỉ có một cực đại.
Có đúng một cực tiểu và không có cực đại.
Có đúng một cực đại và không có cực tiểu.
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Lời giải
Ta có \(g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x - 3{x^2} + 4{x^3}\)
\( = 2x\left[ {f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1} \right]\).
Ta có \({x^2} + 1 \ge 1,\forall x \in \mathbb{R}\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(f'\left( x \right) \ge 0\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) nên\(f'\left( {{x^2} + 1} \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Mặt khác, ta có \(2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1 = 2{\left( {x - \frac{3}{8}} \right)^2} + \frac{{23}}{{32}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2} - \frac{3}{2}x + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Suy ra \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Lập bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\)
Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng một điểm cực tiểu là \(x = 0\).