Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn các điều kiện f(1)=0 và tích phân từ 0 đến 1 của [f'(x)]^2dx=tích phân từ 0 đến 1 của (x+1)e^xf(x)dx=(e^x-1)/4 . Tính tích p

Đáp án D

Đặt u=fxdv=x+1exdx⇔du=f'xv=∫x+1exdx=x.ex.

Suy ra ∫01x+1exfxdx=xex.fx01−∫01xex.f'xdx⇒∫01xex.f'xdx=1−e24.

Chọn k sao cho

∫01f'x+k.xex2dx=0⇔∫01f'x2dx+2k.∫01xex.f'xdx+k2.∫01x2e2xdx=0

⇔e2−14−2k.e2−14+k2.e2−14=0⇔k−12=0⇔k=1⇒f'x=−xex.

Do đó fx=∫f'xdx=−∫xexdx=−x−1ex+C mà f1=0⇒C=0.

Vậy fx=−x−1ex⇒∫01fxdx=∫011−xexdx=e−2.