Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1;1] và thỏa mãn f(1) = 0,

Ta có:

f'(x)2+4fx=8x2+16x−8⇒∫−11f'x2dx+2∫−112fxdx=∫−118x2+16x−8dx (1).

Xét I=∫−112fxdx, đặt u=fxdv=2dx⇒du=f'xdxv=2x+2.

Do đó I=∫−112fxdx=2x+2fx−11−∫−112x+2f'xdx=−∫−112x+2f'xdx.

Từ (1) suy ra ∫−11f'x2dx+2∫−112fxdx=∫−118x2+16x−8dx

⇔∫−11f'x2dx−2∫−112x+2f'xdx+∫−112x+22dx=∫−1112x2+24x−4dx

⇔∫−11f'x−2x+22dx=0⇒f'x=2x+2⇒fx=x2+2x+C.

Vì f(1)=0 nên C=-3. Suy ra ∫01fxdx=∫01x2+2x−3dx=−53.