Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x^2 - 2x với mọi x thuộc R. Biết hàm số g(x) = f(1 - x/2) + 4x đồng biến trên khoảng (a; b). Tính b - a.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Có g'(x) = \( - \frac{1}{2}f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) + 4\).

Để hàm số g(x) đồng biến thì \(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) + 4 > 0\)\( \Leftrightarrow f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) < 8\).

Có f'(x) < 8 Û x² – 2x < 8 Û −2 < x < 4.

Khi đó \(f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) < 8\) \( \Leftrightarrow - 2 < 1 - \frac{x}{2} < 4\)\( \Leftrightarrow - 6 < x < 6\).

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−6; 6).

Suy ra a = −6; b = 6. Vậy b – a = 12.