Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (2x - 3)/(x - 2) với mọi x ≠ 2, thỏa mãn f(1) = 1 và f(3) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Do f'(x) xác định với mọi x ≠ 2 nên f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

b) Đúng. Ta có f(x) = \(\int {\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{{x - 2}}} \right)} dx = 2x + \ln \left| {x - 2} \right| + C\).

Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), ta có biểu thức hàm số là f(x) = 2x + ln(x − 2) + C₁.

Vì f(3) = 2 nên 2·3 + ln(3 − 2) + C₁ = 2 suy ra 6 + ln1 + C₁ = 2 suy ra 6 + C₁ = 2 hay C₁ = −4.

Do đó trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì f(x) = 2x + ln(x − 2) − 4.

c) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), ta có biểu thức hàm số là f(x) = 2x + ln(2 − x) + C₂.

Vì f(1) = 1 nên 2·1 + ln(2 − 1) + C₂ = 1 suy ra 2 + ln1 + C₂ = 1 suy ra 2 + C₂ = 1 hay C₂ = −1.

Do đó trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) thì f(x) = 2x + ln(2 − x) − 1.

d) Đúng. Ta tính f(0) = 2·0 + ln(2 − 0) − 1 = ln 2 − 1.

Và f(4) = 2·4 + ln(4 − 2) − 4 = 8 + ln 2 − 4 = 4 + ln 2.

Biểu thức f(0) + 2·f(4) = (ln 2 − 1) + 2·(4 + ln 2) = ln 2 − 1 + 8 + 2·ln 2 = 7 + 3ln 2.