Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau Số nghiệm thuộc đoạn [ − 3 π 2 ; 2 π ] của phương trình 3 f ( c o s 2 x ) − 4 = 0 là

Đặt\[{\rm{t = cos2x,}}\, - 1 \le {\rm{t}} \le 1\]

Phương trình\[{\rm{3f}}\left( {{\rm{cos2x}}} \right) - {\rm{4 = 0}}\]trở thành\[{\rm{3f}}\left( {\rm{t}} \right) - {\rm{4 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{t}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}\]

Từ bảng biến thiên ta có\[{\rm{t = 1,}}\,{\rm{t = a}} \in \left( { - 1;0} \right)\]

Ta có bảng biến thiên của\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]

* Với\[{\rm{t = 1}} \Rightarrow {\rm{cos2x = 1}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 2}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm 1\]

Từ bảng biến thiên của hàm\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }} \pm 1\] có bốn nghiệm phân biệt

*Với \[{\rm{t = a,}}\,{\rm{a}} \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow {\rm{cos2x = a}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = a + 1}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \]

Khi đó, từ bảng biến thiên của hàm \[{\rm{y = cosx}}\] trên \[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }}\sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( {0;1} \right)\] có ba nghiệm phân biệt; \[{\rm{cosx = }} - \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( { - 1;0} \right)\] có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có 11 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C