Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình. Phương trình f(căn bậc hai 2x - x^2) = 3 có bao nhiêu nghiệm?

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {2x - {x^2}} \) với \(x \in [0;2]\)

Ta có \(t' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\) và \(t' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Suy ra \(t(0) = 0,t(1) = 1\) và \(t(2) = 0.\) Khi đó, \(t \in [0;1].\)

Hàm số \(t(x)\) có bảng biến thiên là

Như vậy, mỗi \(t \in [0;1)\) có hai nghiệm \(x\) thuộc [0; 2].

Với \(t = 1\) có một nghiệm \(x = 1.\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\), phương trình \(f(t) = 3\) với \(t\) trên \((0;1)\) có:

Tại \(t = 0,\,\,f\left( 0 \right) = 2\);\(t = 1,\,\,f\left( 1 \right) = 4\).

Trong khoảng \((0;1)\), hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến từ \(2\) đến \(4.\)

Do đó, phương trình \(f\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right) = 3\) có hai nghiệm thuộc \[\left[ {0;{\rm{ }}2} \right].\]

Đáp án cần chọn là: B