Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Đặt \(t = \sqrt {2x - {x^2}} \) với \(x \in \left[ {0;2} \right]\)

Ta có \(t' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\) và \(t' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Suy ra \(t\left( 0 \right) = 0,t\left( 1 \right) = 1\) và \(t\left( 2 \right) = 0\). Khi đó, \(t \in \left[ {0;1} \right]\).

Hàm số \(t\left( x \right)\) có bảng biến thiên là

Như vậy, mỗi \(t \in \left[ {0;1} \right)\) có hai nghiệm \(x\) thuộc \(\left[ {0;2} \right]\).

Với \(t = 1\) có một nghiệm \(x = 1\).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\),suy ra phương trình \(f\left( t \right) = 3\) có một nghiệm \(t\) trên \(\left( {0;1} \right)\).

Do đó, phương trình \(f\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right) = 3\) có hai nghiệm thuộc \(\left[ {0;2} \right]\).