Cho hàm số f(x) = (căn(x + 1) - 2)/(x - 3) khi x > 3; 13/4 - ax khi x <=3

c) ĐÚNG

Ta tính giới hạn bên phải tại điểm \(x = 3\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 1 - 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 4 + 2}} = \frac{1}{4}\).

Do phân số \(\frac{1}{4}\) là phân số tối giản nên \(m = 1,n = 4\). Khi đó: \({m^2} + {n^2} = {1^2} + {4^2} = 1 + 16 = 17\).

a) ĐÚNG

Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 3\), ta cần điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).

Ta có: \(f\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {\frac{{13}}{4} - ax} \right) = \frac{{13}}{4} - 3a\).

Do đó: \(\frac{{13}}{4} - 3a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3a = \frac{{12}}{4} \Leftrightarrow 3a = 3 \Leftrightarrow a = 1\).

b) SAI

Với \(x = 8 > 3\), ta sử dụng biểu thức nhánh trên để tính: \(f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {8 + 1} - 2}}{{8 - 3}} = \frac{{3 - 2}}{5} = \frac{1}{5}\).

Phát biểu nói \(f\left( 8 \right) = - \frac{1}{5}\) là sai.

d) ĐÚNG

Khi \(a = 1\), ta tính trực tiếp giá trị tại \(x = 3\): \(f\left( 3 \right) = \frac{{13}}{4} - 1 \cdot 3 = \frac{1}{4}\).