Cho hàm số f(x) = căn(5x + 1) - (căn (4x + 4))/(2x - 6) khi x > 3; m - 21x/16 khi x<=3

Hàm số liên tục tại \(x = 3\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).

Ta có: \[f\left( 3 \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = m - \frac{{21 \cdot 3}}{{16}} = m - \frac{{63}}{{16}}\].

Tính giới hạn bên phải: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {5x + 1} - \sqrt {4x + 4} }}{{2x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {5x + 1} \right) - \left( {4x + 4} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + \sqrt {4x + 4} } \right)}}\)

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + \sqrt {4x + 4} } \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{2\left( {\sqrt {5x + 1} + \sqrt {4x + 4} } \right)}} = \frac{1}{{2\left( {\sqrt {16} + \sqrt {16} } \right)}} = \frac{1}{{2\left( {4 + 4} \right)}} = \frac{1}{{16}}\].

Để hàm số liên tục tại \(x = 3\) thì \(m - \frac{{63}}{{16}} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{{16}} + \frac{{63}}{{16}} = \frac{{64}}{{16}} = 4\).

Đáp số: 4.