Cho hàm số f(x) = { căn bậc hai x - 1 chia x - 1 khi x > 1 ; a x - 1^2 khi x ≤ 1 }. Hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải.

Hàm số liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f({x_0})\).

Lời giải chi tiết.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x - 1}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}\).

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {ax - \frac{1}{2}} \right) = a - \frac{1}{2} = f(1)\).

Hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 1\) khi và chỉ khi.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = a - \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1\).