Cho hàm số f(x) = { (căn bậc hai của (x − 1) − 1)/(x^2 − 3x + 2) khi x ≠ 2 (2m + 1)/6 khi x = 2 } và g(x) = sin(pi x/4). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

20/25

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,khi\,\,x \ne 2\\\frac{{2m + 1}}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\end{array} \right.$ và $g\left( x \right) = \sin \frac{{\pi x}}{4}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

g(2) = 1.

ĐúngSai

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \frac{1}{2}$.

ĐúngSai

Hàm số g(x) liên tục tại x₀ = 1.

ĐúngSai

Khi m < 1 thì hàm số y = f(x) + g(x) liên tục tại x₀ = 2.

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: $g\left( 2 \right) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1$.

b) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}} = \frac{1}{2}$.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và $g\left( 1 \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vì $g\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$nên hàm số g(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

d) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1$ nên $g\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right)$.

Vậy hàm số g(x) liên tục tại điểm x₀ = 2 và ta có $f\left( 2 \right) = \frac{{2m + 1}}{6}$.

Để hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 2 $\Leftrightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = 1$.