Cho hàm số f(x) = { (căn bậc hai của (3 + 2x) − 1)/(x + 1) khi x > −1 2023x + 2024 khi x ≤ −1 }. Mệnh đề nào sau đây sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

+) Với x > -1, ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {\sqrt {3 + 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{3 + 2x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt {3 + 2x} + 1}}\).

+) Vì x $\ne$-1 nên hàm số liên tục trên khoảng (-1; +$\infty$).

+) Với x $\le$-1, ta có: f(x) = 2023x + 2024, là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên (-$\infty$; -1] .

+) Tại x =-1, ta có: f(-1) = 2023.(-1) + 2024 = 1.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2023x + 2024} \right) = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{2}{{\sqrt {3 + 2x} + 1}}} \right) = 1\)

Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 1\) nên hàm số liên tục tại x =-1.

+) Tại x = 0, ta có: f(0) = \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{1} = \sqrt 3 - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{1} = \sqrt 3 - 1\)

Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) = f(0) nên hàm số liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số liên tục tại x = 5; x =-1 và x = 1.