Cho hàm số f(x) biết f'(x) = x^2 x - 1 ^3 x^2 - 2mx + m + 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị?

Đáp án: 7

Cho f'(x)=0⇒x=0x=1x2−2mx+m+6=0

Trong đó x =  0 là nghiệm bội chẵn, x = 1 là nghiệm bội lẻ.

Để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị thì f'(x) = 0 chỉ đổi dấu 1 lần.

Trường hợp: x2−2mx+m+6≥0,∀x∈ℝ⇔m2−m−6≤0⇔−2≤m≤3.

Do m∈ℤ nên m∈{−2;−1;0;1;2;3}. Suy ra có 6 giá trị nguyên của m thoả mãn.

Trường hợp: tam thức x2−2mx+m+6 có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x = 1.

Khi đó 12−2 m⋅1+m+6=0⇒m=7.

Vậy m∈{−2;−1;0;1;2;3;7}.