Cho hàm số f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a ≠ 0) có đồ thị là đường màu xanh như hình vẽ. Đường thẳng d (màu đen) có phương trình y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tọa độ
15/22
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị là đường màu xanh như hình vẽ. Đường thẳng \(d\)(màu đen) có phương trình \(y = g\left( x \right)\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có tọa độ \(\left( {2;\,0} \right)\) và cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\)
\(f\left( x \right) - g\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right)\) và \(d\) bằng \(\frac{{27}}{4}a\)
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx > 0} \)
Giả sử phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(f\left( x \right)\) và đường thẳng \(d\) có diện tích bằng \(\frac{{27}}{4}\) thì khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành bằng \(\frac{1}{2}\)
Xét mệnh đề a)
Với \(x = - 1,x = 2\) thay vào biểu thức, ta thấy \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\) (thoả mãn) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {a{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)} \right|} \,dx = a\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\,dx = a\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)} \,dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + 4x} \right)} \right|} _{ - 1}^2 = \frac{{27}}{4}a\)
nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(\left( {2;\,0} \right)\) là: \(g\left( x \right) = k\left( {x - 2} \right)\)
Thay \(f\left( 0 \right) = 0\) vào biểu thức \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow k = 2a\)
Vậy đường thẳng \(d\) có phương trình là \(g\left( x \right) = 2a\left( {x - 2} \right)\), ta thế ngược lại, ta có :
\(f\left( x \right) - 2a\left( {x - 2} \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) + 2a\left( {x - 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x} \right) = ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Vậy \[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^2 {ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx} = 0\] nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Từ câu b) \(\frac{{27}}{4}a = \frac{{27}}{4} \Rightarrow a = 1\) thì hàm số trở thành \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) và đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại các điểm \(x = 0;\,x = 1;\,x = 2\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục \(Ox\) là :\(S' = \int\limits_0^2 {\left| {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx} \)
Do tính đối xứng của hai phần diện tích trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) và \(\left[ {1;\,2} \right]\) nên ta chỉ cần tính một phần rồi nhân đôi
Khi đó : \(S' = 2\int\limits_0^1 {x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)dx} = \frac{1}{2}\)nên mệnh đề d) đúng