Cho hàm số f(x) = ax^3 − 5x^2 + bx + c. Biết rằng tồn tại a, b sao cho lim khi x tiến tới 2 của f(x)/(x^2 − 4x + 4) hữu hạn. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Phương pháp giải:

Để giới hạn \(\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) hữu hạn thì tử số phải chia hết cho \({\left( {x - 2} \right)^2}\)

Giải chi tiết:

Ta có \({x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}\). Để giới hạn \(\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) hữu hạn thì tử số phải chia hết cho \({\left( {x - 2} \right)^2}\) tức là \(f\left( 2 \right) = 0\) và \(f'\left( 2 \right) = 0\).

Với \(f\left( x \right) = a{x^3} - 5{x^2} + bx + c\) ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} - 10x + b\).

Xét mệnh đề a)

Điều kiện \(f\left( 2 \right) = 0\) là điều kiện bắt buộc để giới hạn hữu hạn. ⇒ Mệnh đề a đúng.

Xét mệnh đề b)

Để giới hạn \(\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} - \left( {5 + b} \right)x + 6}}{{x - 2}}\)

hữu hạn thì tử số phải triệt tiêu tại \(4a - 2\left( {5 + b} \right) + 6 = 0 \Rightarrow 2a - b - 2 = 0\).

Khi đó 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} - (5 + b)x + 6}}{{x - 2}} = 2ax - (5 + b){|_{x = 2}} = 4a - 5 - b.\)

Thay \(b = 2a - 2\) được giá trị giới hạn bằng \(2a - 3\), không luôn bằng \(2 \Rightarrow \) Mệnh đề b sai.

Xét mệnh đề c)

Vì \(f(2) = f'(2) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{f''(2)}}{2}.\)

Ta có \(f''(x) = 6ax - 10\), suy ra

 \(\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} - 4x + 4}} = \frac{{12a - 10}}{2} = 6a - 5\).

Giới hạn này không luôn bằng \(7\) \( \Rightarrow \) Mệnh đề c sai.