Cho hàm số f(x) = (ax − 4)/(bx − c), (a, b, c ∈ R) có bảng biến thiên như sau: Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương?

Đáp án đúng là: \(1.\)

Giải chi tiết:

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy đồ thị có hai đường tiệm cận, trong đó tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1.\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{c}{b} = - 2}\\{\frac{a}{b} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2b\\a = b\end{array} \right.\)

Lại có hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nên

\(f'(x) = \frac{{ - ac + 4b}}{{{{(bx - c)}^2}}} < 0 \Rightarrow - ac + 4b < 0.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - b\left( { - 2b} \right) + 4b < 0\\ \Leftrightarrow 2{b^2} + 4b < 0\\ \Leftrightarrow - 2 < b < 0\end{array}\)

\( \Rightarrow b\) âm

\( \Rightarrow a = b \Rightarrow \) \(a\) âm

Mà \(c = - 2b\)\( \Rightarrow \)\(c\) dương.

Vậy trong các số \(a,\,\,b,\,\,c\) có \(1\) số dương.