Cho hàm số: f(x) = 5x + 2 khi x >= 1; x^2 - 3 khi x < 1

Tính giới hạn bên trái khi \(x \to {1^ - }\):

Khi \(x \to {1^ - }\), ta xét các giá trị \(x < 1\), do đó hàm số được xác định bởi công thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} - 3} \right) = {1^2} - 3 = - 2\).

Tính giới hạn bên phải khi \(x \to {1^ + }\):

Khi \(x \to {1^ + }\), ta xét các giá trị \(x > 1\), do đó hàm số được xác định bởi công thức \(f\left( x \right) = 5x + 2\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {5x + 2} \right) = 5 \cdot 1 + 2 = 7\).

Tính giới hạn của hàm số khi \(x \to 1\):

Ta thấy giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số tại điểm \(x = 1\) không bằng nhau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - 2 \ne 7 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\).

Vì giới hạn trái và giới hạn phải khác nhau nên không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).