Cho hàm số f(x) = 4 sin x cos x + 2x trên [−pi; pi].

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số $f\left( x \right) = 4\sin x\cos x + 2x$ trên $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$

Đạo hàm của hàm số đã cho là $f\prime \left( x \right) = 4\sin 2x + 2$

ĐúngSai

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có $4$ điểm cực trị thuộc $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$

ĐúngSai

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2; - 1} \right)$

ĐúngSai

Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ là $\frac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 $

ĐúngSai

Giải thích

Xét mệnh đề a)
Ta có: $f\left( x \right) = 4\sin x\cos x + 2x = 2\sin 2x + 2x$$ \Rightarrow f'\left( x \right) = 4\cos 2x + 2$ nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$
Trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3}; - \frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}; - \frac{{2\pi }}{3}} \right\}$.
Vẽ bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$.
$= \frac{\pi }{3}\) nên mệnh đề d) đúng (ảnh 1)$
Từ bảng biến thiên ta thấy trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ hàm số có 4 điểm cực trị nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Do $ - 1 > - \frac{\pi }{3}$ nên khoảng $\left( { - 2;\, - 1} \right)$ không là tập con của khoản $\left( { - \frac{{2\pi }}{3};\, - \frac{\pi }{3}} \right)$
Tại $x = - 1 \in \left( { - 2;\, - 1} \right)$ có $f'\left( { - 1} \right) = 4\cos \left( { - 2} \right) + 2 = 0,336 > 0$ do đó hàm số đã cho đồng biến nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.$
Trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3}$ và ta có $f\left( 0 \right) = 0;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi ;f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 .$
Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ là $\frac{{2\pi }}{3} + \sqrt 3 $ đạt khi $x = \frac{\pi }{3}$ nên mệnh đề d) đúng