Cho hàm số f(x) = (4 - căn(3x + 4))/(4 - x) khi x > 4; 2x - 4 khi x <=4

a) ĐÚNG. Khi \(x = 4\), ta dùng công thức \(f\left( x \right) = 2x - 4\). Do đó, \(f\left( 4 \right) = 2 \cdot 4 - 4 = 4\).

b) SAI. Tính giới hạn bên phải tại \(x = 4\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{4 - \sqrt {3x + 4} }}{{4 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{16 - \left( {3x + 4} \right)}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{12 - 3x}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{3\left( {4 - x} \right)}}{{\left( {4 - x} \right)\left( {4 + \sqrt {3x + 4} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{3}{{4 + \sqrt {3x + 4} }} = \frac{3}{{4 + 4}} = \frac{3}{8}\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \frac{3}{8} \ne 4\).

c) SAI. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \frac{3}{8}\) còn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = 4\). Do giới hạn hai phía không bằng nhau nên không tồn tại giới hạn tại \(x = 4\), suy ra hàm số không liên tục tại \(x = 4\).

d) ĐÚNG. Khi \(x \to - \infty \), ta có \(f\left( x \right) = 2x - 4\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\left( {2x - 4} \right)}^2} - 2\left( {2x - 4} \right)}}{{{x^2} - 5x + 12}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{x^2} - 16x + 16 - 4x + 8}}{{{x^2} - 5x + 12}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{x^2} - 20x + 24}}{{{x^2} - 5x + 12}} = 4\).