Cho hàm số f(x) = 3x^2 xác định trên R

2/7

Cho hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

a) Chứng minh rằng \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H(x) = F(x) + C\) có là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) không?

c) Giả sử \(G(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G(x) - F(x)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G(x) - F(x)\) ?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) \({F^\prime }(x) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2} = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), suy ra \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) \({H^\prime }(x) = {(F(x) + C)^\prime } = {F^\prime }(x) + 0 = f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), suy ra \(H(x)\) cũng là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

c) \({[G(x) - F(x)]^\prime } = {G^\prime }(x) - {F^\prime }(x) = f(x) - f(x) = 0\). Suy ra \(G(x) - F(x) = C\) ( \(C\) là hằng số ). Do đó, \(G(x) - H(x)\) là hàm hằng.