Cho hàm số f(x) = { (3 − căn bậc hai của (9 − x))/x khi 0 < x < 9 m khi x = 0 3/x khi x ≥ 9 }. Biết hàm số f(x) liên tục trên [0; +∞) với giá trị m = a/b (a, b ∈ ℕ* và phân số a/b là phân số

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \frac{1}{3};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \left( {\frac{3}{x}} \right) = \frac{1}{3}\] và \(f\left( 9 \right) = \frac{1}{3}\) nên hàm số liên tục tại x = 9.

Lại có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {3 - \sqrt {9 - x} } \right)\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}}{{x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }} = \frac{1}{6}\] và f(0) = m.

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +$\infty$) thì \(m = \frac{1}{6}\)

$\Rightarrow$ a = 1, b = 6 $\Rightarrow$ T = a + 2b = 1 + 2.6 = 13.