Cho hàm số f(x) = (2x^2 − x − 1)/(x − 1), g(x) = căn bậc hai của (x + 15) và h(x) = { f(x) khi x < 1 g(x) khi x ≥ 1 }. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}\) xác định trên khoảng (-$\infty$; 1) nên hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1).

b) Đúng. Hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x + 15} \) xác định trên khoảng (1; +$\infty$) nên hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

c) Đúng. h(1) = g(1) =\(\sqrt {1 + 15} = 4\).

d) Sai. Tập xác định của hàm số h(x) là ℝ.

Trên khoảng (-$\infty$; 1), ta có: \(h\left( x \right) = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}\) nên hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1).

Trên khoảng (1; +$\infty$) ta có: \(h\left( x \right) = g\left( x \right) = \sqrt {x + 15} \) nên hàm số h(x) liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

Tại x = 1. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3\]

và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x + 15} = 4\]. Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right)\] nên không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right)\].

Do đó, hàm số h(x) không liên tục tại x = 1 nên hàm số h(x) không liên tục trên ℝ.