Cho hàm số f(x) = {2x + 5 khi x ≥ 1, 3x^2 + 4 khi x < 1. Giả sử F là nguyên hàm của f trên R thỏa mãn F(0) = 2. Giá trị của F(−1) + 2F(2) bằng:

81/235

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 5}&{{\rm{khi\;}}x \ge 1}\\{3{x^2} + 4}&{{\rm{khi\;}}x < 1}\end{array}} \right.\). Giả sử \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng:

\[27.\]

\[29.\]

12.

\[33.\]

Giải thích

Phương pháp giải:

\(\smallint {x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)

Giải chi tiết:

Ta có \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{ - 1} f\left( x \right)dx + 2\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right) + 2F\left( 2 \right) - 2F\left( 0 \right)\).

Do đó \(I = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) - 3F\left( 0 \right) = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) - 6 \Rightarrow F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = I + 6\).

Mà \(\mathop \smallint \nolimits_0^{ - 1} f\left( x \right)dx = - \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \left( {3{x^2} + 4} \right)dx = - 5\) và \(2\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 2\left( {\mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 4} \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_1^2 \left( {2x + 5} \right)dx} \right) = 26\).

Suy ra \(I = 26 - 5 = 21\).

Vậy \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 21 + 6 = 27\).