Cho hàm số f(x) = 2((tan ^2)x) + 2. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (- (pi/2); (pi/2)) thỏa mãn F(pi/4) = 5. Tính giá trị của F(0).
Giải thích
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Ta biến đổi hàm số: f(x) = 2\({\tan ^2}x\) + 2 = 2(1 + \({\tan ^2}x\)) = \(\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\).
Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} dx\) = 2tan x + C.
Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 5 nên 2tan \(\frac{\pi }{4}\) + C = 5.
Vì tan \(\frac{\pi }{4}\) = 1 nên 2·1 + C = 5, suy ra C = 3.
Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = 2tan x + 3.
Giá trị của F(0) = 2tan 0 + 3 = 2·0 + 3 = 3.