Cho hàm số f(x) = (2 tan x − cot x)^2. F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sao cho F(pi/4) = 3 − 9pi/4. Khi đó F(x) = a tan x + b cot x + c x (a, b, c là các hằng số). Tính a + b + c.

23/40

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2\tan x - \cot x} \right)^2}\). \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) sao cho \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 3 - \frac{{9\pi }}{4}\). Khi đó \(F\left( x \right) = a\tan x + b\cot x + cx\)(\(a,b,c\) là các hằng số). Tính \(abc\).

\(36\).

\( - 36\).

\(72\)

\( - 72\).

Giải thích

Có \(f\left( x \right) = {\left( {2\tan x - \cot x} \right)^2} = 4{\tan ^2}x - 4 + {\cot ^2}x = \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 9\).

Khi đó \(F\left( x \right) = 4\tan x - \cot x - 9x + C\).

Ta có \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\tan \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} - 9 \cdot \frac{\pi }{4} + C = 3 - \frac{{9\pi }}{4} \Rightarrow C = 0\).

Vậy \(F\left( x \right) = 4\tan x - \cot x - 9x\).

Suy ra \(a = 4;b = - 1;c = - 9\). Do đó \(abc = 36\). Chọn A.