Cho hàm số f(x) = ( {2 .... tan x - cot x} ^2

17/22

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2 \cdot \tan x - \cot x} \right)^2}\). \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) sao cho \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 3 - \frac{{9\pi }}{4}\). Khi đó \(F\left( x \right) = a \cdot \tan x + b \cdot \cot x + cx\) (\(a,b,c\) là các hằng số). Tính \(a \cdot b \cdot c\).

Giải thích

Đáp án: \(36\).

Ta có: \(f\left( x \right) = {\left( {2.\tan x - \cot x} \right)^2} = 4.{\tan ^2}x - 4.\tan x.\cot x + {\cot ^2}x = 4.{\tan ^2}x - 4 + {\cot ^2}x\).

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {4.{{\tan }^2}x - 4 + {{\cot }^2}x} \right)dx} \)

\( = \int {\left( {4\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) + {{\cot }^2}x + 1 - 9} \right)} dx = 4.\tan x - \cot x - 9x + C\).

Do \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 3 - \frac{{9\pi }}{4}\)\( \Rightarrow 4\tan \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} - 9.\frac{\pi }{4} + C = 3 - \frac{{9\pi }}{4} \Rightarrow C = 0\).

Nên \(F\left( x \right) = 4.\tan x - \cot x - 9x\).

Vậy \(a = 4;b = - 1;c = - 9\) nên \(a.b.c = 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 36\).