Cho hàm số f'(x) = 12x^2 − 6x. Biết f(1) = 4 và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(1) = 5. Tính giá trị của F(2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Ta có f(x) = \(\int {\left( {12{x^2} - 6x} \right)} dx = 4{x^3} - 3{x^2} + {C_1}\).

Vì f(1) = 4 nên 4×(1)³ − 3×(1)² + C₁ = 4 suy ra 1 + C₁ = 4 hay C₁ = 3.

Vậy f(x) = 4x³ − 3x² + 3.

Tiếp tục tìm F(x) = \(\int {\left( {4{x^3} - 3{x^2} + 3} \right)} dx = {x^4} - {x^3} + 3x + {C_2}\).

Vì F(1) = 5 nên 1⁴ − 1³ + 3×1 + C₂ = 5 suy ra 3 + C₂ = 5 hay C₂ = 2.

Hàm số F(x) = x⁴ − x³ + 3x + 2.

Thay x = 2 vào F(x), ta được F(2) = 2⁴ − 2³ + 3×2 + 2 = 16 − 8 + 6 + 2 = 16.