Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên R thỏa mãn 2 ∫ f ( x ) d x + x 3 3 = ∫ f 2 ( x ) dx + x + C với C là hằng số. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y

22/49

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2\int f \left( x \right){\rm{d}}x + \frac{{{x^3}}}{3} = \int {{f^2}} \left( x \right){\rm{d}}x + x + C\) với \(C\) là hằng số. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = 1\) và hai đường thẳng \(x = 0,\,\,x = 2\) (nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Lấy đạo hàm hai vế của giả thiết, ta được \(2f\left( x \right) + {x^2} = {f^2}\left( x \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + 1 = {x^2} \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]^2} = {x^2} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right) - 1} \right| = \left| x \right|\).

Diện tích hình phẳng cần tính là: \[S = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right) - 1} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|{\rm{d}}x} = 2\].

Đáp án cần nhập là: \(2\).