Cho hàm số f ( x ) xác định trên R ∖ { 0 } , thỏa mãn f ′ ( x ) = (x + 1)/ x^2 , f ( − 2 ) = 3/2 , f ( 2 ) = 2 ln 2 − 3/2 . Giá trị của biểu thức f ( − 1 ) + f ( 4 ) bằng

Đáp án đúng là: C

Giải chi tiết:

Ta có

             \[f(x) = \int {f'} (x){\mkern 1mu} dx = \int {\frac{{x + 1}}{{{x^2}}}} dx = \ln |x| - \frac{1}{x} + C.\]

Suy ra

\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\ln |x| - \frac{1}{x} + {C_1},}&{x < 0,}\\{[6pt]\ln |x| - \frac{1}{x} + {C_2},}&{x > 0.}\end{array}} \right.\)

Từ \(f( - 2) = \frac{3}{2}\):

          \[\ln 2 + \frac{1}{2} + {C_1} = \frac{3}{2} \Rightarrow {C_1} = 1 - \ln 2.\]

Từ \(f(2) = 2\ln 2 - \frac{3}{2}\):

                   \[\ln 2 - \frac{1}{2} + {C_2} = 2\ln 2 - \frac{3}{2} \Rightarrow {C_2} = \ln 2 - 1.\]

Do đó

\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\ln |x| - \frac{1}{x} + 1 - \ln 2,}&{x < 0,}\\{\ln |x| - \frac{1}{x} + \ln 2 - 1,}&{x > 0.}\end{array}} \right.\)

   \[f( - 1) + f(4) = (2 - \ln 2) + (\ln 4 - \frac{1}{4} + \ln 2 - 1) = 8\ln 2 + \frac{3}{4}.\]

Đáp án cần chọn là: C.