Cho hàm số f ( x ) = − x^4 + 4x^2 + m ( m > 0 ) . Giá trị của tham số m thuộc những khoảng nào dưới đây để đường thẳng y = 8 cắt đồ thị hàm số y = | f ( x ) | tại 4 điểm phân biệt?

95/100

Cho hàm số

\[f(x) = - {x^4} + 4{x^2} + m\quad (m > 0).\]

Giá trị của tham số $m$ thuộc những khoảng nào dưới đây để đường thẳng $y = 8$ cắt đồ thị hàm số $y = |f(x)|$ tại $4$ điểm phân biệt?

$(1;4)$.

$(3;6)$.

$(2;5)$.

$(5;8)$.

Giải thích

Đáp án đúng: D.

Giải chi tiết:

$Một bình đựng $5$ viên bi kích thước và chất l (ảnh 1)$

Vì $m > 0$ nên đồ thị hàm số

\[f(x) = - {x^4} + 4{x^2} + m\]

thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị $y = - {x^4} + 4{x^2}$ lên trên $m$ đơn vị.

Để đường thẳng $y = 8$ cắt đồ thị $y = |f(x)|$ tại $4$ điểm phân biệt, thì $y = 8$ phải cắt đồ thị $y = f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt, tức là phương trình

\[f(x) = 8{\rm{ }}\left( * \right)\]

phải có $4$ nghiệm phân biệt.

Ta có:

\[f'(x) = - 4{x^3} + 8x = - 4x({x^2} - 2).\]

Suy ra các điểm cực trị:

\[x = - \sqrt 2 ,\]\[x = 0,\]\[x = \sqrt 2 .\]

Giá trị hàm số tại các điểm cực trị:

\[f( \pm \sqrt 2 ) = 4 + m,\]\[f(0) = m.\]

Để phương trình $(*)$ có $4$ nghiệm phân biệt thì:

\[m < 8 < 4 + m.\]

Suy ra:

\[4 < m < 8.\]

Đối chiếu với các phương án, ta thấy:

\[(5;8) \subset (4;8),\]

Vậy các khoảng thỏa mãn là D

Đáp án cần chọn: D.