Cho hàm số f (x) = x^3 + bx^2 + cx + d với b, c, d Î ℝ. Biết hàm số g (x) = f (x) + 2f '(x) + 3f ''(x)

Đáp án đúng là: B

f (x) = x³ + bx² + cx + d

Þ f '(x) = 3x² + 2bx + c

Þ f ''(x) = 6x + 2b

Từ đó suy ra g (x) = f (x) + 2f '(x) + 3f ''(x)

= x³ + bx² + cx + d + 2(3x² + 2bx + c) + 3(6x + 2b)

= x³ + (b + 6)x² + (4b + c + 18)x + (d + 2c + 6b)

Þ g '(x) = 3x² + 2(b + 6)x + (4b + c + 18) = 0

Hoành độ giao điểm của đường y=fx+f'x+f''xgx+18 và y =1 là nghiệm của phương trình  fx+f'x+f''xgx+18=1

Ûf (x) + f '(x) + f ''(x) = g (x) + 18

Ûf (x) + f '(x) + f ''(x) = f (x) + 2f '(x) + 3f ''(x) + 18

Ûf '(x) + 2f ''(x) + 18 = 0

Û 3x² + 2bx + c + 2(6x + 2b) + 18 = 0

Û 3x² + 2(b + 6)x + (4b + c + 18) = 0

Û g '(x) = 0 Þ x = x₁ và x = x₂ với g (x₁) = -6 và g (x₂) = 42

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=fx+f'x+f''xgx+18 và y =1 là ∫x1x2fx+f'x+f''xgx+18−1dx=∫x1x2g'xgx+18dx

=lngx+18x1x2=lngx2+18gx1+18

=ln42+18−6+18=ln5

Mà ln 5 = ln a nên suy ra a = 5

Xét các mệnh đề trên

+) a = 5 nên a không chia hết cho 3

+) a = 5 Þ 1 < a < 6

+) a = 5 nên a không là số chính phương

+) a = 5 Þ a² + 1 = 26 > 20.