Cho hàm số f ( x ) = − x^3 + 3x^2 + 1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1 ; 3 ] . Giá trị của biểu thức T = M^2 − m^2 là

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

\(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( 1 \right) = 3;f\left( 2 \right) = 5;f\left( 3 \right) = 1\). Do đó , .

Vậy \(T = {M^2} - {m^2} = {5^2} - {1^2} = 24\). Chọn D.