Cho hàm số f ( x ) = { x^2 − 3x + m khi x < 1 ; − 2x + n khi x ≥ 1 ( m , n ∈ R ) liên tục trên R và thoả mãn ∫ 2 1 f ( x ) dx = 0 .

Phương pháp giải

Dựa vào ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=0$ tìm m . Dựa vào tính liên tục tìm n .

Giải chi tiết

Ta có: ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx={\int }_1^2\left(-2x+n\right)dx={\left.\left(-x^2+nx\right)\right|}_1^2=-3+n=0\Rightarrow n=3$.

Vì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên ${\text{lim}}_{x\to 1^{+}}f\left(x\right)={\text{lim}}_{x\to 1^{-}}f\left(x\right)$
$\Rightarrow {\text{lim}}_{x\to 1^{-}}\left(x^2-3x+m\right)={\text{lim}}_{x\to 1^{+}}\left(-2x+3\right)$ \( \Rightarrow m - 2 = 1 \Rightarrow m = 3\)

1) Mệnh đề 1) đúng.

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 3\) khi \(x < 1\) nên \(f\left( { - 2} \right) = 13\).
2) Mệnh đề 2) đúng

Ta có:

${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx={\int }_0^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_1^{2}f\left(x\right)dx={\int }_{-1}^1\left(x^2-3x+3\right)dx+{\int }_1^3\left(-2x+3\right)dx=\frac{14}{3}$.

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ