Cho hàm số f( x ) = {x^2} - 3x - 4} / {x^2} - 4x + 3}. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau đây:

26/235

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 4x + 3}}\). Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau đây:

\(\left( {2;3} \right)\).

\(\left( {3;4} \right)\).

\(\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).

\(\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số sau đó xét tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải

Hàm số xác định trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Có \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x - 4} \right) - \left( {2x - 4} \right)\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 14x - 25}}{{{{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)}^2}}}\)

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 14x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = 7 \pm 2\sqrt 6 \)

Khi đó, ta có \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {7 - 2\sqrt 6 ;3} \right) \cup \left( {3;7 + 2\sqrt 6 } \right)\)

Kiểm tra 4 khoảng trên, ta thấy có duy nhất \(\left( {3;4} \right)\) là khoảng con của

\(\left( {7 - 2\sqrt 6 ;3} \right) \cup \left( {3;7 + 2\sqrt 6 } \right)\).