Cho hàm số f ( x ) = { x^2 + 2 x − 1 k h i; x ≤ 2 x + 5 k h i x > 2 .
100/100
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1{\rm{ khi}}\,\,x \le 2\\x + 5{\rm{ khi}}\,\,x > 2\end{array} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^*}\) và ƯCLN\((a;b) = 1\).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
![Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1{\rm{ khi}}\,\,x \le 2\\x + 5{\rm{ khi}}\,\,x > 2\end{array} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^*}\) và ƯCLN\((a;b) = 1\). Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid29-1729660088.png)
Giá trị của a là ______.
Giá trị của b là ______.
Đáp án
Giá trị của a là 31 .
Giá trị của b là 3 .
Giải thích
Với \(x < 2\), ta có \(f(x) = {x^2} + 2x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(( - \infty ;2)\).
Với \(x > 2\), ta có \(f(x) = x + 5\) là hàm đa thức nên liên tục trên \((2; + \infty )\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 7\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 2) = 7;f(2) = 7.{\rm{ }}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = f(2)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 2\). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đặt \(t = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \to {\rm{d}}t = \frac{{2x\;{\rm{d}}x}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \frac{{x\;{\rm{d}}x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{\rm{d}}t}}{2}\).
Đổi cận:
Với \(x = 0\) ta có \(t = 0\)
Với \(x = \sqrt {{e^4} - 1} \) ta có \(t = 4\)
Khi đó\({\rm{ }}I = \frac{1}{2}\int_0^4 f (t){\rm{d}}t = \frac{1}{2}\int_0^4 f (x){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int_0^2 {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)} dx + \int_2^4 {(x + 5)} dx} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 5x} \right)} \right|_2^4} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{{14}}{3} + 16} \right) = \frac{{31}}{3}\)