Cho hàm số f ( x ) = x + x^2 + x^3 + … + x^2024 . Tính L = l i m x → 2 f ( x ) − f ( 2 ) x − 2 .
Giải thích
Ta có : \(f'\left( x \right) = 1 + 2x + 3{x^2} + \ldots + 2024{x^{2023}}\)
\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = x + 2{x^2} + 3{x^3} + \ldots + 2024.{x^{2024}}\)
\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = \left( {2x - x} \right) + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4{x^3} - {x^3}} \right) + \ldots + \left( {2024.{x^{2023}} - {x^{2023}}} \right) + 2024.{x^{2024}}\)
\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = \left( {1 + 2x + 3{x^2} + 4{x^3} + \ldots + 2024.{x^{2023}}} \right) - \left( {1 + x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2023}}} \right) + 2024.{x^{2024}}\)
\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{1 - x}} + 2024.{x^{2024}}\)
\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2024.{x^{2024}}}}{{x - 1}} + \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{{{(x - 1)}^2}}}\).
Cách 2:
Nhận xét \(x,{x^2},{x^3}, \ldots ,{x^{2024}}\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \(x\) và công bội là \(x\).
Khi đó \(f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}} = {S_{2024}} = \frac{{x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)}}{{x - 1}}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}.\left[ {{{\left( {x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right)}^{\rm{'}}}\left( {x - 1} \right) - x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}.\left[ {\left( {{x^{2024}} - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2024{x^{2024}}.\left( {x - 1} \right) - x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right]\)
\( = \frac{{2024.{x^{2024}}}}{{x - 1}} + \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
Vậy \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = f'\left( 2 \right) = {2024.2^{2024}} + 1 - {2^{2024}} = {2023.2^{2024}} + 1\).
Chọn B