Cho hàm số f ( x ) = { x 2 + 2 x − 1 k h i x ≤ 2; x + 5 k h i x > 2 . Biết I = √ e 4 − 1 ∫ 0 x/(x^2 + 1) . f [ l n ( x^2 + 1 ) ] d x = a b với a , b ∈ Z ∗ và ƯCLN ( a ; b ) = 1 . Kéo
73/100
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x - 1{\rm{\;khi\;}}x \le 2}\\{x + 5{\rm{\;khi}}\,\,x{\rm{\;}} > 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {{\rm{ln}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x = \frac{a}{b}} \) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^{\rm{*}}}\) và ƯCLN \(\left( {a;b} \right) = 1\).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
![Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x - 1{\rm{\;khi\;}}x \le 2}\\{x + 5{\rm{\;khi}}\,\,x{\rm{\;}} > 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {{\rm{ln}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x = \frac{a}{b}} \) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^{\rm{*}}}\) và ƯCLN \(\left( {a;b} \right) = 1\). Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid7-1730357227.png)
Giá trị của \(a\) là _______.
Giá trị của \(b\) là _______.
Đáp án
Giá trị của \(a\) là 31.
Giá trị của \(b\) là 3 .
Giải thích
Với \(x < 2\), ta có \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Với \(x > 2\), ta có \(f\left( x \right) = x + 5\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 7\)
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 7;f\left( 2 \right) = 7\).
Do đó \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đặt \(t = {\rm{ln}}\left( {{x^2} + 1} \right) \to {\rm{d}}t = \frac{{2x{\rm{\;d}}x}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \frac{{x{\rm{\;d}}x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{\rm{d}}t}}{2}\).
Đổi cận:
Với \(x = 0\) ta có \(t = 0\)
Với \(x = \sqrt {{e^4} - 1} \) ta có \(t = 4\)
Khi đó
\( = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 5x} \right)} \right|_2^4} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{{14}}{3} + 16} \right) = \frac{{31}}{3}\)