Cho hàm số f ( x ) = sin x + 2x . Hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên R và thoả mãn F ( 0 ) = 4 .

a) Đúng. Ta có hệ số góc băng \(f\left( \pi  \right) = \sin \pi  + 2\pi  = 2\pi \).

b) Đúng. Họ nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) là \(F\left( x \right) = \int {\left( {\sin x + 2x} \right)dx}  =  - \cos x + {x^2} + C\) (với C là hằng số).

c) Sai. Ta có \(F\left( x \right) =  - \cos x + {x^2} + C\)

\(F\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow  - cos0 + 0 + C = 4 \Rightarrow C = 5\)

\(F\left( x \right) =  - \cos x + {x^2} + 5\).

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi miền phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số  \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng có phương trình \(x = 0,\,x = \frac{\pi }{2}\)  là

\(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sin x + 2x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^2}x + 4x\sin x + 4{x^2}} \right)} dx = \pi \left( {\frac{{{\pi ^3}}}{6} + \frac{\pi }{4} + 4} \right) \simeq 31,268620 \simeq 31\).