Cho hàm số f ( x ) = sin 2x liên tục trên ℝ, F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) . a) π ∫ 0 f ( x ) dx = 0 .

15/20

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) liên tục trên ℝ, \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = 0\).

b) Biết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx} = 2\).

d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 4\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} \)\( = \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^\pi = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\).

b) Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 2x} dx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).

Có \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + 1\).

Do đó \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{2}\cos \pi + 1 = \frac{3}{2}\).

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin 2x} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} \)\( = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\).

d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\sin 2x} \right|dx} \)\( = 2\int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} = 2.0 = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai;d) Sai.