Cho hàm số f (x) = sin 2x - 2x

Lời giải

a) Sai.

Vì \(f'\left( x \right) = 2{\rm{cos}}2x - 2\)

b) Đúng.

Hàm số nghịch biến thì \(f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 2({\rm{cos}}2x - 1) \le 0,\forall x \in R\) đúng do \( - 1 \le {\rm{cos}}2x \le 1{\rm{ }}\)\( \Rightarrow {\rm{cos}}2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow 2({\rm{cos}}2x - 1) \le 0,\forall x \in R\)

c) Đúng.

Ta có \(f'\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{cos}}2x - 2 + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{cos}}2x = 1 \Leftrightarrow {\rm{cos}}2x = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}(1){\rm{ }}\\2x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ (2)}}\end{array} \right.{\rm{(k}} \in \mathbb{Z}{\rm{)}}\\\end{array}\)

Từ họ nghiệm (2) thay \(k = 1 \Rightarrow x =  - \frac{\pi }{6} + \pi  = \frac{{5\pi }}{6} \in ( - \pi ;\pi )\)

d) Sai.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x - 2x\)trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 2{\rm{cos}}2x - 2\).

\(f'\left( x \right) \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\). Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0;{\rm{ }}f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{6} + \sqrt 3 \).