Cho hàm số f ( x ) = ( m − 1 ) x 2 + x + 3 . a) f ( 0 ) > 0 . b) f ( x ) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m ≠ 1 . c) f ( 1 ) ≥ 0 khi và chỉ khi m ≥ 3 . d) Hàm số luôn

Lời giải

a) Đúng. Ta có \(f\left( 0 \right) = \left( {m - 1} \right) \cdot {0^2} + 0 + 3 = 3 > 0\).

b) Đúng. \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m - 1 \ne 0\), tức là \(m \ne 1\).

c) Sai. Ta có \(f\left( 1 \right) = \left( {m - 1} \right) \cdot {1^2} + 1 + 3 = m + 3\).

Do đó \(f\left( 1 \right) \ge 0\) khi \(m + 3 \ge 0\), tức là \(m \ge - 3\).

d) Sai. Thay \(m = 1\) vào \(f\left( x \right)\), ta được \(f\left( x \right) = x + 3\), ta thấy \(f\left( x \right)\) không thể nhận giá trị dương với mọi \(x\).

Ta có \(\Delta = {1^2} - 4\left( {m - 1} \right) \cdot 3 = 13 - 4m\).

Với \(m \ne 1\) hàm số \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai, do đó \(f\left( x \right) > 0\,\forall x\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > \frac{{13}}{4}\end{array} \right.\), suy ra \(m > \frac{{13}}{4}\).</>

Vậy hàm số luôn nhận giá trị dương khi \(m > \frac{{13}}{4}\).