Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên R . Biết f ( 4 ) = 5 ; ∫ 2 0 x 2 f ′ ( 2 x ) dx = 10. Giá trị của tích phân ∫ 4 0 x f ( x ) dx là:

Giải chi tiết:

\(\int_0^2 {{x^2}} {f^\prime }(2x)dx = \int_0^2 {{x^2}} \cdot \frac{1}{2}d[f(2x)] = \left. {\frac{1}{2}{x^2} \cdot f(2x)} \right|_0^2 - \int_0^2 f (2x) \cdot xdx\)

\( \Rightarrow \int_0^2 f (2x) \cdot 2xdx = 4 \cdot 5 - 10 = 10\)

\( \Rightarrow \int_0^2 f (2x) \cdot xdx = 5\)

Đặt \(2x = t\)

\(x = 0 \Rightarrow t = 0;\)\(x = 2 \Rightarrow t = 4\)

\( \Rightarrow \int_0^4 f (t) \cdot \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2}dt = 5 \Rightarrow \int_0^4 f (t) \cdot tdt = 20\)

Đáp án cần điền là: \(20.\)