Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các phần ( A ) , ( B ) lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phâ

Đáp án

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các phần \((A),(B)\) lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phân \(\int\limits_0^1 {5x.f} \left( {5{x^2} - 1} \right){\rm{d}}x\) bằng (1) __ -2 __ .

Giải thích

Theo giả thiết ta có \(\int_{ - 1}^1 f (x){\rm{d}}x = 3\) và \(\int_1^4 f (x){\rm{d}}x =  - 7\) suy ra \(\int_{ - 1}^4 f (x){\rm{d}}x =  - 4\).

Đặt \(t = 5{x^2} - 1 \Rightarrow {\rm{d}}t = 10x\;{\rm{d}}x \Rightarrow \frac{1}{2}\;{\rm{d}}t = 5x\;{\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t =  - 1;x = 1 \Rightarrow t = 4\)

Khi đó \(\int\limits_0^1 {5x.f\left( {5{x^2} - 1} \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {f(t){\rm{d}}} t = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {f(x){\rm{d}}x}  =  - \frac{4}{2} =  - 2.\)