Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R thỏa mãn f ( x ) = x^3 + 3 1 ∫ 0 x 4 f ( x ) dx , ∀ x ∈ R . Tính f ( − 1 ) .

49/50

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = {x^3} + 3\int\limits_0^1 {{x^4}f\left( x \right)dx} ,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(f\left( { - 1} \right)\).

\( - \frac{1}{{16}}\).

\( - \frac{1}{8}\).

\(\frac{{31}}{{16}}\).

\(\frac{{15}}{8}\).

Giải thích

Đặt C=∫01x4fxdx.

Theo đề ta có \(f\left( x \right) = {x^3} + 3\int\limits_0^1 {{x^4}f\left( x \right)dx} \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + 3C\).

Do đó C=∫01x4fxdx

⇒C=∫01x4x3+3Cdx⇒C=∫01x7+3Cx4dx⇒C=x8801+3C⋅x5501

\( \Leftrightarrow C = \frac{1}{8} + 3C \cdot \frac{1}{5} \Leftrightarrow C = \frac{5}{{16}}\).

Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} + \frac{{15}}{{16}}\)

Vậy \(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + \frac{{15}}{{16}} = - \frac{1}{{16}}\). Chọn A.