Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R thỏa mãn: π/4 ∫ 0 f ( t a n x ) d x = 4 và 1 ∫ 0 x^2 f ( x ) x^2 + 1 d x = 2 . Giá trị của tích phân I = 1 ∫ 0 f ( x ) d x bằng

96/100

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {{\rm{tan}}x} \right)dx = 4} \) và \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx = 2} \). Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

Giải thích

Phương pháp giải

Lời giải

Xét tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {{\rm{tan}}x} \right)dx = 4} \).

Đặt \({\rm{t}} = {\rm{tan}}x \Rightarrow {\rm{dt}} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{\rm{\;d}}x = \left( {{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + 1} \right){\rm{d}}x \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{{{\rm{dt}}}}{{1 + {{\rm{t}}^2}}}\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \to t = 0}\\{x = \frac{\pi }{4} \to t = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow 4 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {{\rm{tan}}x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2} + 1}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx} \)

Từ đó suy ra \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{\;d}}x + \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{\;d}}x = 4 + 2 = 6\)

Chọn C