Cho hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) thỏa mãn f ( x ) + 2x f ′ ( x ) = 6 x^2 √ x , ∀ x ∈ ( 0 ; + ∞ ) và f ( 4 ) = 33 . Tính 9 ∫ 1 f ( x ) d x .

Ta có \(f\left( x \right) + 2xf'\left( x \right) = 6{x^2}\sqrt x  \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot f\left( x \right) + \sqrt x  \cdot f'\left( x \right) = 3{x^2}\) (chia hai vế cho \(2\sqrt x  > 0\)).

Do đó:\(\mathop \smallint \nolimits^ \left[ {\frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot f\left( x \right) + \sqrt x  \cdot f'\left( x \right)} \right]dx = \mathop \smallint \nolimits^ 3{x^2}dx\)

\( \Leftrightarrow \mathop \smallint \nolimits^ \left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime } \cdot f\left( x \right) + \sqrt x  \cdot f'\left( x \right)} \right]dx = \mathop \smallint \nolimits^ 3{x^2}dx\)\( \Leftrightarrow \sqrt x  \cdot f\left( x \right) = {x^3} + C\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2}\sqrt x  + \frac{C}{{\sqrt x }}\).

Do \(f\left( 4 \right) = 33\) nên \(33 = {4^2}\sqrt 4  + \frac{C}{{\sqrt 4 }} \Leftrightarrow C = 2\). Suy ra \(f\left( x \right) = {x^2}\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt x }}\).

Vậy ∫19fxdx=∫19x2x+2xdx=44287. Chọn C.